Арифмети́чна прогре́сія

Арифмети́чна прогре́сія це послідовність дійсних чисел виду

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }$

де ${\displaystyle a_{1}}$ — це перший член прогресії, ${\displaystyle d}$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.
Формула для знаходження ${\displaystyle n}$-го члена прогресії:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d,\quad \forall n\geqslant 1}$

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }$

Сума ${\displaystyle n}$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n}$.

Сума ${\displaystyle n}$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n}$;

Сума перших ${\displaystyle n}$ натуральних чисел:

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаус відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — 1+2+...+99+100. Ґаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 і т. д., і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює 5050. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$, тобто до формули суми перших n чисел натурального ряду.